题目内容

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
π
2
）图象的相邻两对称轴间的距离为
π
2
，若将函数f（x）的图象向左平移
π
6
个单位后图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求使f（x）≥
1
2
成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g(x)=-g′(
π
3
)sin(
1
2
ωx)+
3
cos(
1
2
ωx)，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）=
2
7
，且
π
2
＜x＜
2π
3
，求cosx的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,导数的运算
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）由周期性求得ω，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的解析式，从而求得使f（x）≥
1
2
成立的x的取值范围．
（Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，再由g（x）=
2
7
，求得sin（x+
π
3
）的值，可得cos（x+
π
3
）的值，再由cosx=cos[（x+
π
3
）-
π
3
]，利用两角差的余弦公式求得结果．
解答： 解：（Ⅰ）∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜
π
2
)图象的相邻两对称轴间的距离
π
2
，
∴函数的周期T=π，ω=
2π
π
=2，∴f（x）=sin（2x+φ），
将f（x）的图象向左平移
π
6
个单位后得到的函数为y=sin(2x+
π
3
+φ)，
∵y=sin(2x+
π
3
+φ)图象关于y轴对称，∴
π
3
+φ=kπ+
π
2
(k∈Z)，又|φ|＜
π
2
，
∴φ=
π
6
，即f(x)=sin(2x+
π
6
)．
由f(x)≥
1
2
得：sin(2x+
π
6
)≥
1
2
，即2kπ+
π
6
≤2x+
π
6
≤2kπ+
5π
6
(k∈Z)，
∴使f(x)≥
1
2
的x的取值范围是[kπ，kπ+
π
3
](k∈Z)．
（Ⅱ）∵g(x)=-g′(
π
3
)sin(
1
2
ωx)+
3
cos(
1
2
ωx)，∴g′(x)=-g′(
π
3
)cosx-
3
sinx，
令x=
π
3
得g′(
π
3
)=-g′(
π
3
)cos
π
3
-
3
sin
π
3
，
解得g′(
π
3
)=-1，所以g(x)=sinx+
3
cosx=2sin(x+
π
3
)．
∵g(x)=
2
7
，∴sin(x+
π
3
)=
1
7
，∵
π
2
＜x＜
2π
3
，∴
5π
6
＜x+
π
3
＜π，∴cos(x+
π
3
)=-
4
3
7
，
∴cosx=cos(x+
π
3
-
π
3
)=-
4
3
7
×
1
2
+
1
7
×
3
2
=-
3
3
14
．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，两角差的余弦公式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为(1 ， 
π
3
)、(3 ， 
2π
3
)，曲线C的参数方程为
x=rcosα
y=rsinα
(α为参数）．
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，连结BC1，过点B1作BC1的垂线交CC1于E．
（1）求证：AC1⊥平面EB1D1；
（2）二面角E-B1D1-C1的正切值．
如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是
 
．
若椭圆
x2
10
+
y2
m
=1与双曲线x2-
y2
b
=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P（
10
3
，y），则实数b的值为
 
．
设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（an，Sn）都在函数f（x）=-
1
2
x+
1
2
的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=lg（1-2Sn）+2，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
已知正五边形ABCDE，
AC
•
AE
=2，则AB=
 
．
已知函数f（x）=cosx•sin（x+
π
3
）-
3
cos2x+
3
4
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）＜m在x∈[-
π
4
，
π
4
]上恒成立，求实数m的取值范围．
已知sinθ=
m-3
m+5
，cosθ=
4-2m
m+5
（
π
2
＜θ＜π），则tanθ=
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网