Question

已知实数x、y满足约束条件

x+2y≥2 2x+y≤4 4x-y≥-1

，若

a

=（x，y），

b

=（3，-1），设z表示向量

a

在

b

方向上的投影，则z的取值范围是（　　）

• A、[-

  3

  2

  ，6]
• B、[-1，6]
• C、[-

  3

  2 10

  ，

  6

  10

  ]
• D、[-

  1

  10

  ，

  6

  10

  ]

Answer 1

考点：简单线性规划,平面向量数量积的运算

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵

a

=（x，y），

b

=（3，-1），z表示向量

a

在

b

方向上的投影，
∴z=

a • b

| b |

=

3x-y

10

，
即y=3x-

10

z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=3x-

10

z，当y=3x-

10

z，经过点C时直线y=3x-

10

z的截距最大，
此时z最小，当y=3x-

10

z经过点B（2，0）时，直线的截距最小，此时z最大．
由

4x-y=-1 2x+y=4

，得

x= 1 2 y=3

，即C（

1

2

，3），
此时最小值z=

3× 1 2 -3

10

=-

3

2 10

，
此时最大值z=

6

10

，
故z的取值范围是[-

3

2 10

，

6

10

]，
故选：C．

点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．