Question

设定义在[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λx₁+（1-λ）x₂，（λ∈R），且

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，若不等式|

MN

|≤k恒成立，则称函数f（x）在[x₁，x₂]上“k阶线性近似”．若函数y=

x

与y=

3	x

在[0，1]上有且仅有一个“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据条件得到M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．利用函数最值和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，
∴B，N，A三点共线，
又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N与M的横坐标相同．
∵在[0，1]上，
∴x₁=0，x₂=1，
即A（0，0），B（1，1），
则AB方程为y=x，
则|

MN

|=

x

-x，
设g（x）=

x

-x，
则g′（x）=

1

2 x

-1=

1-2 x

2 x

，
由g′（x）=0，解得x=

1

4

，
则x=

1

4

是函数g（x）的极大值，同时也是最大值，
则g_max（

1

4

）=

1 4

-

1

4

=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
设m（x）=

3	x

-x，
则m′（x）=

1

3

x-

2

3

-1=

1

3 3 x2

-1=

1-3 3 x2

3 3 x2

，
由m′（x）=0得，x=

3

9

，
此时m（x）取得极大值，同时也是最大值，
则m（

3

9

）=

3	3 9

-

3

9

=

3

3

-

3

9

=

2 3

9

，
要使函数y=

x

与y=

3	x

在[0，1]上有且仅有一个“k阶线性近似”，
则

1

4

≤k≤

2 3

9

，
故实数k的取值范围为k∈[

1

4

，

2 3

9

)，
故答案为：k∈[

1

4

，

2 3

9

)．

点评：点评：本题考查新定义，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．运算量较大，有一定的难度．