Question

如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

1

2

CD．
（1）求证：PE⊥平面PBC；
（2）直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）求二面角E-BD-A的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的性质,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出点A，B，P，E共面，BC⊥平面PEAB，从而得到PE⊥BC，由此能证明PE⊥平面PBC．
（2）点E即为所求的点，即点M与点E重合．由平面几何知识能证明DE∥平面PBC．
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-A的余弦值．

解答： （1）证明：EA∥OP，AO?平面ABP，
∴点A，B，P，E共面，
∵PO⊥平面ABCD，PO?平面PEAB，
∴平面∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PEAB，∴PE⊥BC，
由平面几何知识知PE⊥PB，
又BC∩PB=B，
∴PE⊥平面PBC．
（2）解：点E即为所求的点，即点M与点E重合．
取PB的中点F，连接EF，CF，DE，
由平面几何知识知EF∥AB，又AB∥CD，∴EF∥CD，且EF=DC，
∴四边形DCFE为平行四边形，所以DE∥CF．
∵CF在平面PBC内，DE不在平面PBC内，
∴DE∥平面PBC．
∴DM∥平面PBC．
（3）解：由已知知四边形BCDO是正方形，OD、OB、OP两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，设DC=1，
则B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，-

1

2

，

1

2

），
设平面BDE的一个法向量为

n1

=（x，y，z），

BD

=（1，-1，0），

BE

=（0，-

3

2

，

1

2

），

n1 • BD =x-y=0 n1 • BE =- 3 2 y+ 1 2 z=0

，
取y=1，则x=1，z=3，从而

n1

=（1，1，3）．
取平面ABD的一个法向量为

n2

=（0，0，1）．
cos＜

n1

，

n2

＞=

3

11 •1

=

3 11

11

，
故二面角E-BD-A的余弦值为

3 11

11

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点的判断，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．