Question

已知数列{a_n}是等差数列，求证：a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+…+a_n+1

C

n n

=（a₁+a_n+1）•2^n-1．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,等差数列的性质

专题：证明题,二项式定理

分析：利用等差数列的性质，结合二项式系数的性质，即可得出结论．

解答： 证明：∵数列{a_n}是等差数列，
∴a₁+a_n+1=a₂+a_n=…，
令S=a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+…+a_n+1

C

n n

，则S=a_n+1

C

n n

+…+a₂

C

1 n

+a₁

C

0 n

．
两式相加可得2S=（a₁+a_n+1）•（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

）=（a₁+a_n+1）•2ⁿ．
∴S=（a₁+a_n+1）•2^n-1．
∴a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+…+a_n+1

C

n n

=（a₁+a_n+1）•2^n-1．

点评：等差数列的性质：a₁+a_n+1=a₂+a_n=…；二项式系数的性质：

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

=2ⁿ．