题目内容
设F1，F2分别是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|，则椭圆的离心率为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：首先根据椭圆的定义建立|AF1|+|AF2|=2a，|AF1|=3|AF2|进一步求得：|AF2|=
，|AF1|=
，再利用定义关系式和勾股定理解得：8c2=5a2，最后进一步解得离心率．
| a |
| 2 |
| 3a |
| 2 |
解答：
解：设F1，F2分别是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点A根据椭圆定义：|AF1|+|AF2|=2a所以：|AF2|=
，|AF1|=
由于：∠F1AF2=90°
所以：|AF1|2+|AF2|2=4c2
则：|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2
进一步解得：8c2=5a2
所以：e=
故答案为：e=
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a |
| 2 |
| 3a |
| 2 |
由于：∠F1AF2=90°
所以：|AF1|2+|AF2|2=4c2
则：|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2
进一步解得：8c2=5a2
所以：e=
| ||
| 4 |
故答案为：e=
| ||
| 4 |
点评：本题考查的知识要点：椭圆的定义关系式，勾股定理，椭圆的离心率及相关的运算．
练习册系列答案
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-
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| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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| ||
B、y±
| ||
C、x±
| ||
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|
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