题目内容
设数列{an}满足a1=1，a2=4，a3=9，an=an-1+an-2-an-3，n=4，5，…，则a2014= ．
考点：数列递推式
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：在数列递推式an=an-1+an-2-an-3中，以n+1替换n，得到an+1=an+an-1-an-2，作和后可得数列{an}的偶数项和偶数项均构成等差数列，由已知求出偶数项的公差，代入等差数列的通项公式求得a2014的值．
解答：
解：由an=an-1+an-2-an-3，得
an+1=an+an-1-an-2，
两式作和得：an+1=2an-1-an-3．
即an+1+an-3=2an-1（n=4，5，…）．
∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，
∵a2=4，a4=12，∴偶数项公差为8．
则a2014=a2+8（1007-1）=4+8×1006=8052．
故答案为：8052．
an+1=an+an-1-an-2，
两式作和得：an+1=2an-1-an-3．
即an+1+an-3=2an-1（n=4，5，…）．
∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，
∵a2=4，a4=12，∴偶数项公差为8．
则a2014=a2+8（1007-1）=4+8×1006=8052．
故答案为：8052．
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，属中档题．
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