题目内容

与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦．过有心曲线（椭圆、双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．
对圆x2+y2=r2，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若AB是圆O的直径，M是圆O上异于A、B的一点，且AM，BM均与坐标轴不平行，则kAM•kBM=-1．
（1）试根据点M和直径AB的特殊位置，写出椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的类似结论；
（2）对于任意位置满足条件的点M和直径AB，判断并证明（1）中的结论是否恒成立．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：推理和证明
分析：（1）取AB是椭圆的长轴，M为短轴的一个端点，即可得出结论；
（2）利用A，B点关于原点对称，设出A，B，M三点的坐标，由斜率公式即可求得结论．
解答： （1）解：结论；若AB是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的直径，M是椭圆上异于A、B的一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则kAM•kBM=-
b2
a2
．
（2）证明：设A（x，y），M（x0，y0），则B（-x，-y），
∴kAM•kBM=
y-y0
x-x0
•
-y-y0
-x-x0
=
y2-
y
2
0
x2-
x
2
0
=
b2(1-
x2
a2
)-b2(1-
x
2
0
a2
)
x2-
x
2
0
=-
b2
a2
．
点评：本题主要考查利用类比推理，由圆的性质类比猜想椭圆的类似性质，一般的思路是：点到点，线到线，直径到直径等类比后的结论应该为关于椭圆的一个类似结论．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
练习册系列答案
相关题目
若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（　　）
A、
11
12
B、
14
12
C、
11
6
D、
3
3
设F1，F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|，则椭圆的离心率为
 
．
已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（　　）
A、
3
2
B、7+
2
C、7+2
2
D、10+
2
如图为一个四棱锥的正视图、侧（左）视图和俯视图，则该四棱锥的表面积为（　　）
A、3
B、2+
2
C、2
D、3+2
2
若(
x
2
-
a
x
)6展开式中的常数项是60，则实数a的值是（　　）
A、±1
B、±
2
C、±2
D、±2
2
“a≤0”是“函数f（x）=|（ax-1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
已知函数f（x）=Mcos（ωx+ϕ）（M＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC=BC=
2
2
，∠C=90°，则f(
1
2
)=（　　）
A、-
1
2
B、
1
2
C、-
2
2
D、
2
2
正方体与其外接球的表面积之比为（　　）
A、
3
：π
B、2：π
C、3：π
D、6：π

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网