Question

下列命题：①若a＞b＞0，则

1

a

＞

1

b

；②若a＞b＞0，则a+

1

b

＞b+

1

a

；③若a＞b＞0，则

2a+b

a+2b

＞

a

b

；④若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则

2

a

+

1

b

的最小值为9，其中正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：结合不等式的性质，进行逐个判断即可．对于①：用不等式的取倒数性质进行判断；对于②：利用不等式的可加性进行判断； 对于③：则需要利用作差进行比较大小；对于④：利用基本不等式进行判断．

解答： 解：对于①：
∵a＞b＞0，
∴

1

a

＜

1

b

，
∴①错误；
对于②：
根据①得

1

b

＞

1

a

＞0，
∵a＞b＞0，
利用不等式的可加性，
∴a+

1

b

＞b+

1

a

，
∴②正确；
对于③：
∵

2a+b

a+2b

-

a

b

=

(b+a)(b-a)

b(a+2b)

，
∵a＞b＞0，
∴b-a＜0，
∴

2a+b

a+2b

-

a

b

＜0，
∴

2a+b

a+2b

＜

a

b

，
∴③错误；
对于④：
∵2a+b=1，
∴则

2

a

+

1

b

=（2a+b）（

2

a

+

1

b

）
=5+2（

b

a

+

a

b

）≥5+4=9，
当且仅当a=b时等号成立，
∵2a+b=1，
∴a=b=

1

3

．
∴④正确．
综上，正确的说法有：②④，
故选：B．

点评：本题综合考查了不等式的基本性质、基本不等式等知识，属于中档题，解题中对于基本不等式，一定要验证等号成立的条件，防止增根的产生，也要注意它的使用前提：“一正二定三相等”．