Question

17．已知数列{a_n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₃a_n+1（n∈N^*），求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可设数列{a_n}的公比为q＞1，由a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差数列．可得2×$\frac{5}{3}{a}_{4}$=a₃+a₅，
化为3q²-10q+3=0，解得q．
（2）b_n=log₃a_n+1=n，可得a_n•b_n=n•3^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可设数列{a_n}的公比为q＞1，
∵a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差数列．∴2×$\frac{5}{3}{a}_{4}$=a₃+a₅，
∴3q²-10q+3=0，解得q=3．∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=log₃a_n+1=n，
∴a_n•b_n=n•3^n-1．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和S_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，
3S_n=3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
∴-2S_n=1+（3+3²+…+3^n-1）-n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n•3ⁿ．
∴S_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．