Question

7．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，则下列结论正确的序号是②③．
①若a、b、c成等差数列，则B=$\frac{π}{3}$；               ②若c=4，b=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{6}$，则△ABC有两解；
③若B=$\frac{π}{6}$，b=1，ac=2$\sqrt{3}$，则a+c=2+$\sqrt{3}$；     ④若（2c-b）cosA=acosB，则A=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由a、b、c成等差数列，得a+c=2b，两边平方可得a²+c²+2ac=4b²，求出cosB不一定等于$\frac{1}{2}$判断①；利用正弦定理求出sinC，结合三角形中大边对大角判断②；求解三角形判断③④．

解答 解：对于①，由a、b、c成等差数列，得a+c=2b，即a²+c²+2ac=4b²，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{b}^{2}-2ac}{2ac}=\frac{3{b}^{2}}{2ac}-1$，当b²≠ac时，B$≠\frac{π}{3}$，故①错误；
对于②，若c=4，b=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{6}$，则sinC=$\frac{c}{b}•sinB=\frac{4}{2\sqrt{3}}•\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$＞$\frac{1}{2}$，又c＞b，
∴△ABC有两解，故②正确；
对于③，∵B=$\frac{π}{6}$，b=1，ac=2$\sqrt{3}$，
∴b²=1=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-6，则a²+c²=7，
∴$（a+c）^{2}={a}^{2}+2ac+{c}^{2}=7+4\sqrt{3}$，则a+c=2+$\sqrt{3}$，故③正确；
对于④，若（2c-b）cosA=acosB，则2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA=sinC，则cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，故④错误．
∴正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查三角形的解法，属中档题．