Question

19．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}+{b}_{n}+3}{3}}\\{{b}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+2{b}_{n}+3}{3}}\end{array}\right.$（其中n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为$\frac{2n+1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{2}$．

Answer 1

分析 通过递推式求出a_n+1+b_n+1可知数列{a_n+b_n}是首项为3、公差为2的等差数列，通过求出a_n+1-b_n+1可知数列{a_n-b_n}是首项为1、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，两式相加即得结论．

解答 解：a_n+1+b_n+1=$\frac{2{a}_{n}+{b}_{n}+3}{3}$+$\frac{{a}_{n}+2{b}_{n}+3}{3}$=a_n+b_n+2，
又∵a₁+b₁=2+1=3，
∴数列{a_n+b_n}是首项为3、公差为2的等差数列，
∴a_n+b_n=3+2（n-1）=2n+1，
又∵a_n+1-b_n+1=$\frac{2{a}_{n}+{b}_{n}+3}{3}$-$\frac{{a}_{n}+2{b}_{n}+3}{3}$=$\frac{1}{3}$（a_n-b_n），
且a₁-b₁=2-1=1，
∴数列{a_n-b_n}是首项为1、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴a_n-b_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{（{a}_{n}+{b}_{n}）+（{a}_{n}-{b}_{n}）}{2}$=$\frac{2n+1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{2}$，
故答案为：$\frac{2n+1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．