Question

14．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过点（1，0）、（0，3），f（x+2）=f（2-x），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）不等式f（x+1）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的对称轴，以及二次函数经过的点，列出方程组，求出a、b、c的值即可；
（2）根据二次函数的性质，得到关于x的不等式，解得即可．

解答 解：（1）f（x+2）=f（2-x）可知二次函数的对称轴为x=2．
二次函数f（x）=ax²+bx+c经过点（1，0）和（0，-3），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得a=1，b=-4，c=3
所以二次函数解析式为：f（x）=x²-4x+3；
（2）由f（x+1）＞0，可得（x+1）²-4（x+1）+3＞0，即x（x-2）＞0，
解得x＜0，或x＞2，
故不等式解集为（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．