Question

10．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知得∠EAD=∠DAC，∠DAC=∠FBC，从而∠FBC=∠FCB，由此能证明FB=FC．
（2）由已知得∠ACB=90°从而∠ABC=30°，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC=60°，由此能求出AD．

解答 证明：（1）因为AD平分∠EAC，
所以∠EAD=∠DAC．…（1分）
因为四边形AFBC内接于圆，
所以∠DAC=∠FBC．…（2分）
因为∠EAD=∠FAB=∠FCB，…（3分）
所以∠FBC=∠FCB，…（4分），
所以FB=FC．…（5分）
解：（2）因为AB是圆的直径，所以∠ACB=90°，…（6分）
又∠EAC=120°，所以∠ABC=30°，…（7分）
∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC=60°，…（8分）
因为BC=6，所以AC=BCtan∠ABC=2$\sqrt{3}$，…（9分）
所以AD=$\frac{AC}{cos∠DAC}$=4$\sqrt{3}$（cm）．…（10分）

点评 本题考查两线段长相等的证明，考查线段的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．