Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

（1）求证：CD∥平面PAB，
（2）求证：PA⊥平面ABCD；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积；
（4）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．
（2）由已知得PA⊥AD，PA⊥CD，AD∩CD=D，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（3）由已知得四棱锥P-ABCD的底面积为1，四棱锥P-ABCD的高为1，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．（4）由PA⊥平面ABCD，得∠PCA是直线PC与平面ABCD所成角，由此能求出直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
∴CD∥AB，
∵CD不包含于平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥平面PAB．
（2）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA=1，PD=

2

，
∴PD²=PA²+AD²，
∴PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD．
（3）解：∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
∴四棱锥P-ABCD的底面积为1，
∵PA⊥平面ABCD，∴四棱锥P-ABCD的高为1，
∴四棱锥P-ABCD的体积为V=

1

3

×1×1=

1

3

．
（4）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成角，
∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA=1，
∴AC=

2

，∴PC=

3

，
∴sin∠PCA=

PA

PC

=

1

3

=

3

3

．
∴直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查CD∥平面PAB的证明，考查PA⊥平面ABCD的证明，考查求四棱锥P-ABCD的体积的求法，考查直线PC与平面ABCD所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．