Question

在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A-BD-C的余弦值为（　　）

• A、-

  1

  3

• B、

  1

  3

• C、-

  3

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：由（1）的证明可得∠A′EF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=

1

3

，利用互补得出二面角A-BD-C的余弦值为-

1

3

．

解答： 解：过A作AE⊥BD，在原图延长角BC与F，
过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，

∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，
AB=

1

2

AC，BD=

1

2

AC，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD⊥AE，BD⊥EF，
∴∠AEF为二面角A-BD-C的平面角，
过A作AO⊥面BCD，垂足为O，
∵面AEF⊥面BCD，
∴O在EF上，
理解BO交CD延长线于M，
当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知：MB⊥CM，
∴O为翻折之前的三角形ABD的中心，
∴OE=

1

3

AE，
cos∠AEO=

1

3

，
∴cos∠AEF=-

1

3

，
故选：A

点评：本题以平面图形为载体，考查图形的翻折，关键是搞清翻折前后有关元素的变与不变，考查面面角，考查线面角，关键是正确作出相应的角