Question

已知幂函数f（x）=xm2-2m-3（m∈N₊）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(3+2a)-

m

3

＞(a-1)-

m

3

的a的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的性质,函数单调性的性质

专题：

分析：幂函数y=x^α的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，则易得m的值．再根据幂函数y=x^α的单调性，求满足(3+2a)-

m

3

＞(a-1)-

m

3

的a的取值范围．

解答： 解：∵m∈N₊，∴m=1，2．
又函数的图象关于y轴对称，∴m²-2m-3是偶数，
而2²-2×2-3=-3为奇数，1²-2×1-3=-4为偶数，∴m=1．…（5分）
∵函数y=x-

1

3

在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数，
∵(a-1)-

1

3

＜(3+2a)-

1

3

∴a-1＞3+2a＞0或0＞a-1＞3+2a或a-1＜0＜3+2a…（9分）
解得a＜-4或-

3

2

＜a＜1
故a的取值范围为{a|a＜-4或-

3

2

＜a＜1}      …（12分）

点评：幂函数y=x^α，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意．