Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S

2 n

-2S_n-a_n•S_n+1=0，n∈N^*
（Ⅰ）求S_n与S_n-1（n≥2）的关系式，并证明数列{

1

Sn-1

}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

n

2(n+2)

＜T_n＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据a_n与S_n关系将条件进行化简，利用等差数列的定义即可证明数列{

1

Sn-1

}是等差数列；
（Ⅱ）求出{b_n}的前n项和为T_n，利用放缩法即可证明不等式．

解答： 当n=1时，由S

2 n

-2S_n-a_n•S_n+1=0得a12-2a1-a12+1=0，解得a1=

1

2

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1代入S

2 n

-2S_n-a_n•S_n+1=0，得S_nS_n-1-2S_n+1=0，
∴S_n=

1

2-Sn-1

，即

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1，
即数列{

1

Sn-1

}是首项为

1

S1-1

=-2，公差d=-1的等差数列；
则

1

Sn-1

=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
即S_n=

n

n+1

，n∈N^•．
（2）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

n(n+1)

，当n=1时，也成立．
故a_n=

1

n(n+1)

，
∴b_n=a_n•S_n=

1

(n+1)2

，
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

，
∵n²＜n（n+1），∴

1

n2

＞

1

n(n+1)

，
即

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

=

n

2(n+2)

∵bn=

1

(n+1)2

＜

1

(n+1)2- 1 4

=

1

(n+ 1 2 )(n+ 3 2 )

=

1

n+ 1 2

-

1

n+ 3 2

，
∴

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

＜

1

1+ 1 2

-

1

1+ 3 2

+…+

1

n+ 1 2

-

1

n+ 3 2

=

2

3

-

2

2n+3

＜

2

3

，
即

n

2(n+2)

＜T_n＜

2

3

成立．

点评：本题主要考查等差数列的定义和应用，利用条件求出相应的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键，利用放缩法是证明本题不等式的基本方法，综合性较强，难度较大．