Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）、f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）（文科）若f（2）=2，u_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），求证：u_n+1＞u_n（n∈N^*）．
（3）（理科）若f（2）=2，u_n=

f(2-n)

n

(n∈N*)，求数列u_n的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,抽象函数及其应用,数列的应用,数列的求和

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）令a=b=1，⇒f（1）=0；
（2）令a=b=-1⇒f（0）=0，再令a=-1，可知f（-b）=-f（b）⇒f（x）为奇函数；
（3）利用递推关系可得u_n+1=2uⁿ+2ⁿ⁺¹，从而可知

un+1

2n+1

-

un

2n

=1，u₁=f（2）=2，从而可求得u_n=n•2ⁿ，于是易证u_n+1＞u_n（n∈N^*）．
（4）令tn=f(2-n)=f[(

1

2

)n]，利用递推关系可求得t_n=-

n

2n

，继而可知u_n=-

1

2n

，利用等比数列的求和公式即可求得答案．

解答： 解：（1）令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
令a=0，b=-1，则f（0）=0•f（-1）-1•f（0）⇒2f（0）=0⇒f（0）=0；
（2）令a=b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=0⇒f（-1）=0，
令a=-1，则f（-b）=-f（b）+bf（-1）=-f（b）⇒f（x）为奇函数；
（3）（文科）un+1=f(2n+1)=f(2•2n)=2f(2n)+2nf(2)=2un+2n+1
⇒

un+1

2n+1

-

un

2n

=1，且u1=f(2)=2⇒

un

2n

=

2

2

+(n-1)•1⇒un=n•2n
⇒

un+1

un

=

(n+1)•2n+1

n•2n

=

(n+1)2

n

＞1⇒un+1＞un；
（4）（理科）令tn=f(2-n)=f[(

1

2

)n]，
则tn+1=f[

1

2

(

1

2

)n]=

1

2

f[(

1

2

)n]+(

1

2

)nf(

1

2

)=

1

2

tn-(

1

2

)n+1
⇒2n+1tn+1-2ntn=-1⇒2ntn=2(-

1

2

)+(n-1)(-1)=-n
⇒tn=-

n

2n

⇒un=-

1

2n

⇒Sn=

- 1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-1+

1

2n

．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查数列的求和与数列与函数的综合应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．