Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前6项和为33，且a₄为a₁和a₁₀的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

an•an+1

}的前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，由已知得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入数列{

1

an•an+1

}，然后由裂项相消法求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由已知得

S6=33 a 2 4 =a1•a10

，
∴

2a1+5d=11 3d2=3a1d

⇒

2a1+5d=11 d•(3d-a1)=0

．
∵数列{a_n}各项均不相等，
∴d≠0，于是a₁=3d，
解得

a1=3 d=1

．
∴a_n=n+2；
（Ⅱ）∵

1

an•an+1

=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，
∴Sn=

1

a1•a2

+

1

a3•a4

+…+

1

an•an+1

=(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)
=

1

3

-

1

n+3

=

n

3(n+3)

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，属中档题．