题目内容

已知
a
=(
3
cosx，sinx)，
b
=(sinx，
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
a
+
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知f(
α
2
)=3，且α∈（0，π），求α的值．
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．
解答： 解：（1）已知：
a
=(
3
cosx，sinx)，
b
=(sinx，
3
cosx)
则：f（x）=
a
•
a
+
a
•
b

=3cos2x+sin2x+2
3
sinxcosx
=
3
sin2x+cos2x+2
=2sin(2x+
π
6
)+2
所以：函数的最小正周期为：T=
2π
2
=π…（2分）…（4分）
（2）由于f（x）=2sin(2x+
π
6
)+2
所以f(
α
2
)=3
解得：2sin(α+
π
6
)+2=3
所以：sin(α+
π
6
)=
1
2
…（6分）
因为：α∈（0，π），
所以：α+
π
6
∈(
π
6
，
7π
6
)
则：α+
π
6
=
5π
6

解得：α=
2π
3
点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．
练习册系列答案
相关题目
化简
cos(π-α)tanα
sin(π+α)
的结果是（　　）
A、sinαB、-cosα
C、1D、-1
a∈R，z1=
a2-a-6
，z2=
5+4a-a2
，a为何值时，z1与z2可以比较大小？a为何值时，z1与z2不可以比较大小？
已知函数f（x）=
3
cos2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（
π
6
）的值；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-
π
3
，
π
3
]上的最大值和最小值．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为上顶点为B，△BF1F2是等边三角形，椭圆C上的点到F1的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F1任意作一条直线l交椭圆C于M、N两点（均不是椭圆的顶点），设直线AM与直线l0x=-4交于P点，直线AN与l0交于Q点，请判断点F1与以线段PQ为直径的圆 的位置关系．
斜率为k（k≠0）的两条直线分别切函数f（x）=x3+（t-1）x2-1的图象于A、B两点，若直线AB的方程为y=2x-1，则t+k的值为（　　）
A、8B、7C、6D、5
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（
4
3
，
b
3
）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=2cos
ωx+φ
2
（sin
ωx+φ
2
+cos
ωx+φ
2
 ）-1（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，且函数y=f（x）的图象上的两条相邻对称轴的距离是
π
2
．
（Ⅰ）求φ，ω的值；
（2）令g（x）=f（
π
6
-x），求函数g（x）在[0，
π
2
]是的值域．
求函数y=3cos（2x-
π
3
），x∈R的单调区间，并求出对称轴和对称中心．

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