Question

已知函数f（x）=2cos

ωx+φ

2

（sin

ωx+φ

2

+cos

ωx+φ

2

 ）-1（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，且函数y=f（x）的图象上的两条相邻对称轴的距离是

π

2

．
（Ⅰ）求φ，ω的值；
（2）令g（x）=f（

π

6

-x），求函数g（x）在[0，

π

2

]是的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数f（x）=

2

sin（ωx+φ+

π

4

），然后结合，f（x）为奇函数，得到φ+

π

4

=kπ，k∈Z，再结合0＜φ＜π，得到φ=

π

4

，再结合

2π

ω

=2×

π

2

=π，得到ω=2；
（2）直接根据自变量的范围，结合三角函数的单调性求解其值域即可．

解答： 解：（1）f（x）=2cos

ωx+φ

2

（sin

ωx+φ

2

+cos

ωx+φ

2

 ）-1
=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
=

2

sin（ωx+φ+

π

4

），
∵f（x）为奇函数，∴φ+

π

4

=kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

4

，
∵

2π

ω

=2×

π

2

=π，
∴ω=2，
（2）结合（1），得f（x）=-

2

sin2x，
g（x）=f（

π

6

-x）=-

2

sin（

π

3

-2x）=

2

sin（2x-

π

3

）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴g（x）∈[-

6

2

，

2

]．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、辅助角公式等知识，属于中档题．