题目内容
椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（
，
）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 3 |
| b |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题设可得c2-
c+
=0①，又点P在椭圆C上，可得
+
=1⇒a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③联立解得c，b2，即可得解．
（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0（﹡），由△=0，得m2=2k2+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由d1•d2=
=|
|=1对任意的实数k恒成立．由
即可求出这两个定点的坐标．
| 4 |
| 3 |
| b2 |
| 3 |
| 16 |
| 9a2 |
| b2 |
| 9b2 |
（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0（﹡），由△=0，得m2=2k2+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由d1•d2=
| |(λ1k+m)(λ2k+m)| |
| k2+1 |
| (λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1 |
| k2+1 |
|
解答：
解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知
•
=0，得
c2-
c+
=0①…（1分）
又点P在椭圆C上，∴
+
=1⇒a2=2②
b2+c2=a2=2③…（3分）
①③联立解得，c=1，b2=1…（5分）
故所求椭圆的方程为
+y2=1…（6分）
（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，
得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0（﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0，
所以△=0，得m2=2k2+1…（8分）
假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由d1•d2=
=|
|=1对任意的实数k恒成立．
所以，
解得，
或
，
所以，存在两个定点M1（1，0），M2（-1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…（13分）
| FA |
| FP |
c2-
| 4 |
| 3 |
| b2 |
| 3 |
又点P在椭圆C上，∴
| 16 |
| 9a2 |
| b2 |
| 9b2 |
b2+c2=a2=2③…（3分）
①③联立解得，c=1，b2=1…（5分）
故所求椭圆的方程为
| x2 |
| 2 |
（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，
得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0（﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0，
所以△=0，得m2=2k2+1…（8分）
假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由d1•d2=
| |(λ1k+m)(λ2k+m)| |
| k2+1 |
| (λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1 |
| k2+1 |
所以，
|
|
|
所以，存在两个定点M1（1，0），M2（-1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…（13分）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．
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