Question

已知函数f（x）=lnx-bx-

a

x

（a、b为常数），在x=1时取得极值．
（Ⅰ）求实数a-b的值；
（Ⅱ）当a=-2时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）当n∈N^*时，试比较（

n

n+1

）^n（n+1）与（

1

e

）ⁿ⁺²的大小并证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数在x=1时取得极值，可求实数a-b的值；
（Ⅱ）确定f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，可得f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值；
（Ⅲ）由（II）知f（x）_min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减，证明ln

n

n+1

+

2

n

-

1

n+1

＞0，可得结论．

解答： 解：（I）∵f（x）=lnx-bx-

a

x

，
∴f′（x）=

-bx2+x+a

x2

，
∵在x=1时取得极值，
∴f′（1）=-b+1+a=0
∴a-b=-1              …4分
（II）a=-2，b=-1，
∴f(x)=lnx+x+

2

x

，
∴f′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

(x＞0)，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值，
∴f（x）_min=f（1）=3…8分
（III）由（II）知f（x）_min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减．
∵0＜

n

n+1

＜1，
∴f(

n

n+1

)=ln

n

n+1

+

2(n+1)

n

+

n

n+1

＞f(1)=3
∴ln

n

n+1

+

2

n

-

1

n+1

＞0，∴n（n+1）ln

n

n+1

＞0-（n+2），
∴（

n

n+1

）^n（n+1）与（

1

e

）ⁿ⁺²  …（13分）

点评：本题考查导数极值、最值，辅助函数证明不等式等，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．