Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的中点为M（1，

1

4

），点A关于x轴的对称点为A′，求△ABA′的外接圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由已知a=2b，

2b2

a

=1，解得a=2，b=1，可得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y-

1

4

=k（x-1），代入椭圆方程，得（1+4k²）x²-（8a²-2k）x+4k²-2k-

15

4

=0，利用韦达定理，结合线段AB的中点为M（1，

1

4

），求出k，线段AB与x轴的交点为N（

3

4

，0），即为△ABA′的外接圆的圆心，再求出△ABA′的外接圆的半径，即可求△ABA′的外接圆方程．

解答： 解：（I）由已知a=2b，

2b2

a

=1，解得a=2，b=1，…（3分）
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（II）设直线l的方程为y-

1

4

=k（x-1），设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（6分）
直线代入椭圆方程，得（1+4k²）x²-（8a²-2k）x+4k²-2k-

15

4

=0
则x₁+x₂=

8k2-2k

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-2k- 15 4

1+4k2

，…（7分）
线段AB的中点为M（1，

1

4

），∴x₁+x₂=

8k2-2k

1+4k2

=2，解得k=-1．…（8分）
△ABA′的外接圆的圆心为线段AB的垂直平分线与线段AA′（即x轴）的垂直平分线的交点，线段AB的垂直平分线的方程为y-

1

4

=x-1，即y=x-

3

4

，
∴线段AB与x轴的交点为N（

3

4

，0），即为△ABA′的外接圆的圆心．…（10分）
∵|AB|=

1+1

•

4-4× 9 20

=

22 5

，∴(

1

2

|AB|)2=

11

10

，
点N（

3

4

，0）到直线AB的距离d=

1

2 2

，∴d²=

1

8

，
记△ABA′的外接圆的半径R，则R=

11 10 + 1 8

=

49 40

，
∴△ABA′的外接圆的方程为（x-

3

4

）²+y²=

49

40

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查求△ABA′的外接圆方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．