Question

如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是侧棱SB、SC的中点，若截面AMN⊥侧面SBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  6

  3

• C、

  3

  2

• D、

  2

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：利用截面AMN⊥侧面PBC的特点，证明△PAD是等腰三角形，从而沟通了侧棱长和底面高间的关系，过S作SH⊥底面ABC，垂足为H，则三棱锥的侧棱与底面所成角为∠SAH，最后在直角三角形中计算tan∠SAH即可．

解答： 解：如图，取MN中点O，连接AO，SO，延长SO交BC于点D，
连接AD，则BD=DC，
∵三棱锥S-ABC为正三棱锥，∴AM=AN∴AO⊥MN
∵截面AMN⊥侧面SBC，
∴AO⊥侧面SBC，
∴AO⊥SD，又SO=OD，∴SA=AD，
过S作SH⊥底面ABC，垂足为H，H为底面的中心，AH=

2

3

AD，
则三棱锥的侧棱与底面所成角为∠SAH，
在直角三角形SAH中，SH=

SA2-AH2

=

5

3

AD，
故tan∠SAH=

SH

AH

=

5

2

．
故选：A．

点评：本题考查了正三棱锥的性质，线面角的求法和面面垂直的性质，解题时要有空间想象力，要能恰当的沟通未知量之间的关系，能够用转化的思想方法将空间问题化为平面问题．