题目内容
设f(
)=
，且f（1）=1，f（4）=7，则f（2014）=（ ）
| a+2b |
| 3 |
| f(a)+2f(b) |
| 3 |
| A、4026 | B、4029 |
| C、4028 | D、4027 |
考点：函数的值
专题：函数的性质及应用
分析：由已知得a=4，b=1，f（2）=f（
）=
=3，a=1，b=4，f（3）=f[（
）=
=5，从而f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…，f（n）=2n-1，由此能求出f（2014）=2×2014-1=4027．
| 4+2×1 |
| 3 |
| f(4)+2f(1) |
| 3 |
| 1+2×4 |
| 3 |
| f(1)+2f(4) |
| 3 |
解答：
解：f(
)=
，且f（1）=1，f（4）=7，
∴a=4，b=1，f（2）=f（
）=
=3，
a=1，b=4，f（3）=f[（
）=
=5，
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…，f（n）=2n-1，
证明可用归纳法：设f（n）=2n-1，则f（n-1）=f（
）=
[f（n+1）+2f（n-2）]=2（n-1）-1=2n-3，
所以f（n+1）=3f（n-1）-2f（n-2）=3（2n-3）-2[2（n-2）-1]=6n-9-（4n-10）=2n+1=2（n+1）-1
f（2014）=2×2014-1=4027．
故选：D．
| a+2b |
| 3 |
| f(a)+2f(b) |
| 3 |
∴a=4，b=1，f（2）=f（
| 4+2×1 |
| 3 |
| f(4)+2f(1) |
| 3 |
a=1，b=4，f（3）=f[（
| 1+2×4 |
| 3 |
| f(1)+2f(4) |
| 3 |
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…，f（n）=2n-1，
证明可用归纳法：设f（n）=2n-1，则f（n-1）=f（
| (n+1)+2(n-2) |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以f（n+1）=3f（n-1）-2f（n-2）=3（2n-3）-2[2（n-2）-1]=6n-9-（4n-10）=2n+1=2（n+1）-1
f（2014）=2×2014-1=4027．
故选：D．
点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
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