Question

如图，由y=0，x=8，y=x²围城的曲边三角形，在曲线OB弧上求一点M，使得过M所作的y=x²的切线PQ与OA，AB围城的三角形PQA的面积最大．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：设 M（x₀，y₀），PQ：y=k（x-x₀）+y₀，求出y=x²的导数，求出切线的斜率，令x=8，y=0求得P，Q的坐标，
再求出三角形PQA的面积，再由导数求出最大值．

解答： 解：设 M（x₀，y₀），PQ：y=k（x-x₀）+y₀
则  y0=

x

2 0

，y′=2x|x=x0=2x0
即k=2x₀所以y=2x₀（x-x₀）+y₀
令y=0则x=x₀-

y0

2x0

=

1

2

x₀，
即P(

x0

2

，0)
令x=8则y=16x0-

x

2 0

Q(8，16x0-

x

2 0

)
S=S△PAQ=

1

2

(8-

x0

2

)(16x0-

x

2 0

)
=64x0-8

x

2 0

+

1

4

x

3 0

S′=64-16x0+

3

4

x

2 0

令S'=0，则x₀=16（舍去）或x0=

16

3

，
在

16

3

处S'左正右负，即为极大值点，也是最大值点．
即当x0=

16

3

时，Smax=

4096

27

此时y0=(

16

3

)2=

256

9

M(

16

3

，

256

9

)．

点评：本题考查导数的几何意义，运用导数求切线方程，求最值，考查运算能力，是一道中档题．