Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

4

=1上一点到椭圆两焦点的距离之和为4

2

．
（Ⅰ）求a的值及椭圆的离心率；
（Ⅱ）顺次连结椭圆的顶点得到菱形A₁B₁A₂B₂，求该菱形的内切圆方程；
（Ⅲ）直线l与（Ⅱ）中的圆相切并交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围．

Answer 1

考点：圆锥曲线的实际背景及作用,两点间的距离公式,圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）椭圆上的点到椭圆两焦点的距离之和为4

2

，可求a的值，求出c，即可求出椭圆的离心率；
（Ⅱ）顺次连结椭圆的顶点得到菱形A₁B₁A₂B₂，求出内切圆的圆心，即可求该菱形的内切圆方程；
（Ⅲ）分类讨论，设直线方程代入椭圆方程，利用弦长公式，即可求|AB|的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆上的点到椭圆两焦点的距离之和为4

2

，
∴2a=4

2

，∴a=2

2

，
∵b=2，∴c=2，
∴e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）∵a=2

2

，b=2，
∴菱形内切圆的半径r=

2×2 2

2 3

=

2 6

3

∴内切圆方程为x2+y2=

8

3

   
（Ⅲ）①当直线斜率不存在时，直线方程为x=±

2 6

3

代入椭圆方程得y=±

2 6

3

此时|AB|=

4 6

3

 
②当直线斜率为0时，直线方程为y=±

2 6

3

代入椭圆方程得x=±

2 6

3

此时|AB|=

4 6

3

③当直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m
由直线与圆相切得

|m|

1+k2

=

2 6

3

，即m²=

8

3

（1+k²）
直线代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
设A （ x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），
则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|

32 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 )

≤2

3

，
∴|AB|∈[

4 6

3

，2

3

]．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．