Question

如图，已知定点F（-1，0），N（1，0），以线段FN为对角线作周长是8的平行四边形MNEF．
（Ⅰ）求点E、M所在曲线C的方程；
（Ⅱ）过点N的直线l：x=my+1与曲线C交于P，Q两点，则△FPQ的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得|EF|+|EN|=4》2=|FN|，曲线C的轨迹为椭圆（去掉左右顶点），由此能求出点E、M所在曲线C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设y₁＞0，y₂＜0，△FPQ的内切圆半径为R，则S△FPQ=

1

2

(|PQ|+|PF|+|QF|）R=

1

2

×4a×R=4R，当S_△EFQ最大时，R也最大，△FPQ的内切圆的面积也最大，S_△FPQ=

1

2

•|FN|•|y1-y2|=|y1-y2|，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用弦长公式、导数性质能求出△FPQ的内切圆的最大值和直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵四边形MNEF是周长为8的平行四边形，
∴|EF|+|EN|=4》2=|FN|，
由椭圆定义知，曲线C的轨迹为椭圆（去掉左右顶点），
且2a=4，2c=2，∴b²=a²-c²=3，
∴点E、M所在曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，y≠0．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
设△FPQ的内切圆半径为R，
则S△FPQ=

1

2

(|PQ|+|PF|+|QF|）R=

1

2

×4a×R=4R，
当S_△EFQ最大时，R也最大，△FPQ的内切圆的面积也最大，
又S_△FPQ=

1

2

•|FN|•|y1-y2|=|y1-y2|，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
△=（6m）²+4×9（3m²+4）＞0恒成立，
y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -6m 3m2+4 )2-4× -9 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S_△FPQ=

12 m2+1

3m2+4

，
设

m2+1

=t，则f′(t)=

12-36t2

(3t2+1)2

，
∵t≥1，∴f′（t）＜0，
∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴f（t）_max=f（1）=3，
即S_△FPQ的最大值是3，
又S_△FPQ=4R，∴R=

3

4

，m=0，
∴△FPQ的内切圆的最大值为

9π

16

，直线l的方程为x=1．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形内切圆面积的最大值的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式、导数性质的合理运用．