Question

已知a∈R，函数f(x)=lnx+

1

x

+ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）分类讨论，利用f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，可利用导数的正负，建立不等式，分离参数，求最值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
所以f′（x）=

x-1

x2

．
所以，当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以，当x=1时，函数有最小值f（1）=1．　　　　…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=

ax2+x-1

x2

．
当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．
当a＜0时，要使f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，
当且仅当x∈[2，+∞）时，ax²+x-1≤0恒成立．
即a≤

1-x

x2

恒成立．
设g（x）=

1-x

x2

，则g′(x)=

x-2

x3

，
又x∈[2，+∞），所以g′（x）≥0，即g（x）在区间[2，+∞）上为增函数，
所以g（x）的最小值为g（2）=-

1

4

，所以a≤-

1

4

．
综上，a的取值范围是a≤-

1

4

，或a≥0．…（13分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最大值，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．