题目内容
已知函数f（x）=2
sinωx•cosωx+2cos2ωx-1（ω＞0，x∈R），f（x）是以T=π为周期．
（1）求f（x）的解析式及在区间[0，
]上的最大值与最小值；
（2）若f（x0）=
，x0∈[
，
]，求cos2x0．
| 3 |
（1）求f（x）的解析式及在区间[0，
| π |
| 2 |
（2）若f（x0）=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2ωx+
），由其周期为π易知ω=1，从而可求x∈[0，
]时，f（x）的最大值与最小值；
（2）依题意，可求得sin（2x0+
）=
，cos（2x0+
）=-
，利用两角差的余弦可求得cos2x0的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）依题意，可求得sin（2x0+
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
解答：
解：（1）∵f（x）=2
sinωx•cosωx+2cos2ωx-1
=
sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+
），
∵ω＞0，T=
=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+
）；
由x∈[0，
]知，2x+
∈[
，
]，sin（2x+
）∈[-
，1]，
∴f（x）max=2，f（x）min=-1；
（2）∵f（x0）=2sin（2x0+
）=
，
∴sin（2x0+
）=
，
∵x0∈[
，
]，
∴2x0+
∈[
，
]，
∴cos（2x0+
）=-
=-
，
∴cos2x0=cos[（2x0+
）-
]
=cos（2x0+
）cos
+sin（2x0+
）sin
=-
×
+
×
=
．
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2ωx+
| π |
| 6 |
∵ω＞0，T=
| 2π |
| 2ω |
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
由x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）max=2，f（x）min=-1；
（2）∵f（x0）=2sin（2x0+
| π |
| 6 |
| 6 |
| 5 |
∴sin（2x0+
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
∵x0∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴2x0+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
∴cos（2x0+
| π |
| 6 |
1-sin2(2x0+
|
| 4 |
| 5 |
∴cos2x0=cos[（2x0+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=cos（2x0+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=-
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
=
3-4
| ||
| 10 |
点评：本题考查三角恒等变换的应用，着重考查两角和与差的余弦与同角三角函数间的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若a＞0，b＞0且a≠b，则下列不等式中总能成立的是（ ）
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|