题目内容

某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t（秒）的变化规律大致可用y=-（1+4sin2
tπ
60
）x2+20（sin
tπ
60
）x（t为时间参数，x的单位：m）来描述，其中地面可作为x轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y轴．
（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；
（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
考点：已知三角函数模型的应用问题,圆方程的综合应用
专题：应用题,三角函数的求值
分析：（1）令y=0，可结合t∈（0，60），即可求出喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；
（2）花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，问题转化为在x＞0，y＞0，
x2
4
+y2=100的条件下，求S=xy的最大值．
解答： 解：（1）当y=0时，x=
20sin
tπ
60
1+4sin2
tπ
60
=
20
sin-1
tπ
60
+4sin
tπ
60
，…（3分）
因t∈（0，60）时，sin
tπ
60
∈(0，1)，故sin-1
tπ
60
+4sin
tπ
60
≥4，
从而当sin
tπ
60
=
1
2
，即当t=10或50时，x有最大值5，
所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是5m；…（7分）
（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：(
x
4
)2+(
y
2
)2=25，（x＞0，y＞0）
问题转化为在x＞0，y＞0，
x2
4
+y2=100的条件下，求S=xy的最大值．…（10分）
∵S=xy=2•
x
2
•y≤
x2
4
+y2=100，
由
x
2
=y和
x2
4
+y2=100及x＞0，y＞0得：x=10
2
，y=5
2
，
∴Smax=100                      …（13分）
答：花坛的长为10
2
m，宽为5
2
m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求．    …（14分）
点评：本题考查三角函数模型的运用，考查基本不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的y的值为（　　）
A、4B、5C、8D、10
将函数y=sin（2x-θ）的图象F向右平移
π
6
个单位长度得到图象F′，若F′的一个对称中心是（
3
8
π，0），则θ的一个可能取值是（　　）
A、-
11
12
π
B、
11
12
π
C、-
5
12
π
D、
5
12
π
在△ABC中，b=4，A=
π
3
，面积S=2
3

（1）求BC边的长度；
（2）求值：
sin2(
A
4
+
π
4
)+cos2B
cot
C
2
+tan
C
2
．
设向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若
a
⊥
b
，求| 
a
+
3
b
 |的值；
（2）设向量
c
=(0，
3
)，且
a
+
b
=
c
，求α，β的值．
已知a∈R，函数f(x)=lnx+
1
x
+ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
已知函数f（x）=
2x-1，0≤x＜1
2f(x-1)，x≥1
，方程f（x）=
1
2
的解从小到大组成数列{an}．
（Ⅰ）求a1、a2；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
已知椭圆E的方程为
x2
tanα
+
y2
tan2+1
=1，其中α∈（0，
π
2
）．
（Ⅰ）求椭圆E形状最圆时的方程；
（Ⅱ）若椭圆E最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．
如图，已知圆E：（x+
3
）2+y2=16，点F（
3
，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．

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