Question

已知函数f（x）=（x+a）e^x，其中A为常数．
（Ⅰ）若函数f（x）是区间[-3，+∞）上的增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≥e²在x∈[0，2]时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）是区间[-3，-∞）上的增函数，可得f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[-3，+∞）上恒成立，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）≥e²在x∈[0，2]时恒成立，等价于f（x）_min≥e²在x∈[0，2]时恒成立，分类讨论，求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e^x，
所以f′（x）=（x+a+1）e^x，-------------------------------（2分）
因为函数f（x）是区间[-3，+∞）上的增函数，
所以f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[-3，+∞）上恒成立．------------------------------（3分）
因为y=x+a+1是增函数，
所以满足题意只需-3+a+1≥0，即a≥2．-------------------------------（5分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=-a-1-------------------------------（6分）
f（x），f′（x）的情况如下：

x	（-∞，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

--------------------------------------（10分）
①当-a-1≤0，即a≥-1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（0），
若满足题意只需f（0）≥e²，解得a≥e²；--------------------------------------（11分）
②当0＜-a-1＜2，即-3＜a＜-1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（-a-1），
若满足题意只需f（-a-1））≥e²，求解可得此不等式无解，
所以a不存在；------------------------（12分）
③当-a-1≥2，即a≤-3时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（2），
若满足题意只需需f（2）≥e²，解得a≥-1，
所以此时，a不存在．------------------------------（13分）
综上讨论，所求实数a的取值范围为[e²，+∞）．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查恒成立问题，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．