Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

1

2a

+

1

3b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：由x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，画出可行域：利用图象可知：当z=ax+by直线过

3x-y-6=0 x-y+2=0

的交点
A（4，6）时，

z

b

取得最大值12．得到12=4a+6b．再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：由x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，画出可行域：
∵a＞0，b＞0，z=ax+by，
∴y=-

a

b

x+

z

b

，其斜率-

a

b

＜0，在y轴上的截距为

z

b

，
由图象可知：当此直线过

3x-y-6=0 x-y+2=0

的交点A（4，6）时，

z

b

取得最大值12．
∴12=4a+6b，化为2a+3b=6．
∴

1

2a

+

1

3b

=

1

6

（2a+3b）(

1

2a

+

1

3b

)
=

1

6

（2+

3b

2a

+

2a

3b

）≥

1

6

(2+2

3b 2a • 2a 3b

)=

2

3

，
当且仅当2a=3b=3时取等号．
∴

1

2a

+

1

3b

的最小值为

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查了线性规划的有关知识与基本不等式的性质，属于中档题．