Question

已知各项都为正数的数列{a_n}的前行项和为S_n，且对任意n∈N^*．都有2pS_n=

a

2 n

+pan（其中p＞0为常数），记数列{

1

Sn

}前通项的和为H_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及H_n；
（2）当p=2时，将数列{

1

an

}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b_n}的前3项，记{b_n}的前n项和为T_n，若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*．总有T_m＜H_n+λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式及当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1=p＞0，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式可得a_n、S_n，再利用“裂项求和”可得H_n．
（2）当p=2时，a_n=2n，可得

1

a1

=

1

2

，

1

a2

=

1

4

，

1

a3

=

1

6

，

1

a4

=

1

8

，只有

1

2

，

1

4

，

1

8

成等比数列，利用等比数列的通项公式和前n项和公式可得b_n、T_n．再利用T_m及H_n的单调性即可．

解答： 解：（1）当n=1时，2pa₁=

a

2 1

+pa1，∵a₁＞0，∴2p=a₁+p，解得a₁=p．
当n≥2时，由2pS_n=

a

2 n

+pan，2pSn-1=

a

2 n-1

+pan-1，
可得2pan=

a

2 n

+pan-(

a

2 n-1

+pan-1)，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-p）=0，
∵?n∈N^*，都有a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=p＞0，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=p+（n-1）p=np．
∴S_n=

n2p2+np2

2p

=

(n2+n)p

2

，
∴

1

Sn

=

2

p

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴H_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

p

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

2

p

(1-

1

n+1

)=

2

p

•

n

n+1

．
（2）当p=2时，a_n=2n，∴

1

a1

=

1

2

，

1

a2

=

1

4

，

1

a3

=

1

6

，

1

a4

=

1

8

，
只有

1

2

，

1

4

，

1

8

成等比数列，∴数列{b_n}的首项b₁=

1

2

，公比q=

1

2

，∴bn=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
T_n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n．
∵Tm=1-(

1

2

)m是关于m的单调递增数列，∴

1

2

≤Tm＜1．
又H_n=

2

2

•

n

n+1

=

n

n+1

的最小值为

1

2

．
∵存在m∈N^*，使对任意n∈N^*，总有T_m＜H_n+λ恒成立，∴λ＞

1

2

-

1

2

=0．

点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．