Question

4．已知正三角形ABC的顶点B，C在平面α内，顶点A在平面α上的射影为A′，若△A′BC为锐角三角形，则二面角A-BC-A′大小的余弦值的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．

Answer 1

分析 设BC的中点是D，作出二面角的平面角，根据△A′BC为锐角三角形，得到∠BA'D＜45°，建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：设BC的中点是D，连接AD，A'D，则∠ADA'是二面角A-BC-A′的平面角，设为θ，
设正三角形的边长为2，则AD=$\sqrt{3}$，BD=1，A'D=$\sqrt{3}$cosθ，
∵△A'BC是等腰三角形，A'B=A'C，
∴要使△A′BC为锐角三角形，则∠BA'D＜45°，
则tan∠BA'D=$\frac{BD}{A'D}$=$\frac{1}{\sqrt{3}cosθ}$＜tan45°=1，
即cosθ＞$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵cosθ≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜cosθ≤1，
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．

点评 本题主要考查二面角的应用，根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角，根据锐角三角形的定义找出对应的等价条件是解决本题的关键．