Question

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）=

ax2+blog2( x2+1 +x)-1

x+c

（a＞0）为奇函数，且当x∈[1，+∞）时，f（x）_min=0，平面上的点P（m，n）使关于x的方程xf（x）+mx+n+1=0有实根，且根都落在区间[-1，1]上，那么这样的点P的集合在平面内的区域的形状是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，结合f（x）为奇函数，确定b=c=0，然后，结合函数f（x）在[1．+∞）上为增函数和最小值为1，得到a=1，
从而确定函数解析式f（x）=

x2-1

x

，然后，化简给定的方程，再结合方程在区间[-1，1]上有实根，得到m，n的取值区域，最后，得到相应的答案．

解答： 解：∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴-（x-c）[ax²+blog₂（

x2+1

+x）-1]=-（x+c）[ax²+blog₂（

x2+1

+x）-1]
∴2bxlog₂（

x2+1

+x）=2acx²-2c=2c（ax²-1），
∵a≠0，
∴b=c=0，
∴f（x）=

ax2-1

x

=ax-

1

x

，
∵a＞0，
∴f（x）在[1．+∞）上为增函数，
∴（f（x））_min=f（1）=a-1=0，
∴a=1，
∴f（x）=

x2-1

x

，
∵xf（x）+mx+n+1=0有实根，
∴x²+mx+n=0有实根，
∴△=m²-4n≥0，①
∵x∈[-1，1]，
∴

f(-1)≥0 f(1)≥0

，
∴

1-m+n≥0 1+m+n≥0

，②
结合①②③得点P的集合取值情况如下图所示：

只有选项D符合条件，
故选：D．

点评：本题综合考查了函数的基本性质，函数的奇偶性和单调性、最值等问题，线性规划问题需要引起高度重视，对于一元二次方程根的分布问题一直是高考的热点问题，务必引起高度关注，本题属于难题，综合强，知识量大．