Question

设函数f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小值及取达到最小值时相应的x的值的集合；
（2）若将函数y=f（x）的图象先向右平移

π

2

个单位，再把各点横坐标缩短为原来的

1

2

，再将图象向上平移

3

2

得到函数y=g（x）的图象，求使函数g（x）≤m在[0，

π

4

]恒成立的m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值及取达到最小值时相应的x的值的集合．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

，再根据正弦函数的定义域和值域求得g（x）的最大值，从而得到m的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

，∴当x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=2kπ-

5π

6

，k∈z时，函数取得最小值为

3

2

-1．
即取到最小值时相应的x的值的集合为{x|x=2kπ-

5π

6

，k∈z}．
（2）把函数y=f（x）的图象先向右平移

π

2

个单位，可得函数y=sin（x-

π

2

+

π

3

）+

3

2

=sin（x-

π

6

）+

3

2

的图象；
再把各点横坐标缩短为原来的

1

2

，可得函数y=sin（2x-

π

6

）+

3

2

的图象；
再将图象向上平移

3

2

得到函数y=g（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

的图象．
∵x∈[0，

π

4

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]，故g（x）的最大值为

3

2

+

3

=

3 3

2

，
由题意可得，m≥

3 3

2

．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．