Question

2．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$（n∈N*），则a₂₀₁₅的值为（　　）

• A． 4029
• B． 3029
• C． 2249
• D． 2209

Answer 1

分析 因为是选择题，可用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数符合题意，可令f（x）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，从而很容易地求得则a₁=f（0）=1，再由f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$ （n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差数列的定义求得结果．

解答 解：根据题意，不妨设f（x）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，则a₁=f（0）=1，
∵f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$ （n∈N^*），（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₁₅=4029
故选：A．

点评 本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．对于客观题不妨灵活处理，进而来提高效率，拓展思路，提高能力．