Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4nS_n=（n+1）²a_n（n∈N^*）．a₁=1
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n$＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推关系式可得a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{（n+1）}^{2}}{4n}$a_n-$\frac{{n}^{2}}{4（n-1）}$a_n-1，整理得：$\frac{{a}_{n}}{{n}^{3}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{（n-1）}^{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，于是可求a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n³，则b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，当n≥2时，利用放缩法得：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，从而可证：T_n＜$\frac{7}{4}$．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：∵4nS_n=（n+1）²a_n（n∈N^*），（1）
∴4（n-1）S_n-1=n²a_n-1，（2）
由（1）（2），得：a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{（n+1）}^{2}}{4n}$a_n-$\frac{{n}^{2}}{4（n-1）}$a_n-1（n≥2），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{n}^{3}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{（n-1）}^{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n³．
（Ⅱ）证明：∵b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，a₁=1，
∴b₁=1
当n≥2时，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=b₁+b₂+…+b_n＜1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
＜1+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查数列递推式的应用，求得a_n=n³是关键，突出考查等价转化思想与裂项法、放缩法的综合运用，属于难题．