Question

16．已知函数f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+t-2），其中a＞0且a≠1，t∈R．
（1）若0＜a＜1，且x∈[$\frac{1}{4}$，2]时，有2f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围；
（2）若t=4，且x∈[$\frac{1}{4}$，2]时，F（x）=2g（x）-f（x）的最小值是-2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据对数运算性质和对数函数的单调性得出关于x的恒等式，分离参数求出函数的最值即可得出t的范围；
（2）利用对数运算性质得出F（x）的解析式，讨论a的范围列出方程得出a的值．

解答 解：（1）∵2f（x）≥g（x）恒成立，即2log_ax≥log_a（2x+t-2）恒成立，
∵0＜a＜1，∴x²≤2x+t-2恒成立，即t≥x²-2x+2恒成立，x∈[$\frac{1}{4}$，2]，
令h（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，∴当x=2时，h（x）取得最大值2，
∴t≥2．
（2）当t=4时，F（x）=2log_a（2x+2）-log_ax=log_a$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=log_a[4（x+$\frac{1}{x}+2$）]．
令p（x）=4（x+$\frac{1}{x}+2$），则p′（x）=4（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∴当$\frac{1}{4}$≤x＜1时，p′（x）＜0，当1＜x≤2时，p′（x）＞0，
∴p（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
又p（$\frac{1}{4}$）=25，p（1）=16，p（2）=18，
∴p（x）在[$\frac{1}{4}$，2]上的最大值为25，最小值为16．
若a＞1，则F（x）的最小值为log_a16=-2，解得a=$\frac{1}{4}$（舍）；
若0＜a＜1，则F（x）的最小值为log_a25=-2，解得a=$\frac{1}{5}$．
综上：a=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了对数函数的性质，函数恒成立问题，属于中档题．