Question

6．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3≤0}\\{x+y+1≥0}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，则z=2|x|+y的最大植为11．

Answer 1

分析 将z=2|x|+y转化为分段函数，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x+3y-3=0}\end{array}\right.$，解得B（6，-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$解得C（-2，-1），
当x≥0时，z=2x+y，即y=-2x+z，x≥0，
当x＜0时，z=-2x+y，即y=2x+z，x＜0，
当x≥0时，平移直线y=-2x+z，（红线），
当直线y=-2x+z经过点A（0，-1）时，
直线y=-2x+z的截距最小为z=-1，
当y=-2x+z经过点B（6，-1）时，
直线y=-2x+z的截距最大为z=11，此时-1≤z≤11．
当x＜0时，平移直线y=2x+z，（蓝线），
当直线y=2x+z经过点A（0，-1）时，直线y=2x+z的截距最小为z=-1，
当y=2x+z经过点C（-2，-1）时，
直线y=2x+z的截距最大为z=4-1=3，此时-1≤z≤3，
综上-1≤z≤11，
故z=2|x|+y的取值范围是[-1，11]，
故z的最大值为11，
故答案为：11．

点评 本题主要考查线性规划的应用，将目标函数转化为分段函数，利用两次平移，是解决本题的关键，难度较大．