Question

11．已知a，b，c都是正实数，a+b+c=1．
（1）求证：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$；
（2）求证$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）利用立方和公式和基本不等式证明；
（2）把a+b+c=1代入$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$，再利用基本不等式得出结论．

解答 证明：（1）∵a，b，c都是正实数，
∴a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
以上各式相加得2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac，
∴3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）²=1，
a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$，当且仅当a=b=c时取等号．
（2）∵a+b+c=1．
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥2，$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$≥2，$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$≥2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{b}$+$\frac{a+b+c}{c}$=3+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$+$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$+$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$≥3+2+2+2=9．
当且仅当a=b=c时取等号．

点评 本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．