Question

已知数列{a_n}是首项和公比均为

1

4

的等比数列，设b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*）．数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n
（Ⅰ）求证数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：

分析：（Ⅰ）可利用等差数列的定义来证明数列{bn}是等差数列．
（Ⅱ）可利用等比数列的通项公式bn=b1qn-1和错位相减法求数列{cn}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，an=(

1

4

)n，(n∈N*)，
∴bn=3log

1

4

an-2=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2，
∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3 （常数），
∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差为d=3的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，（n∈N^*），
∴c_n=（3n-2）×(

1

4

)n，（n∈N^*），
∴s_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，
于是

1

4

sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1，
两式相减得

3

4

sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1，
即

3

4

 sn=

1

4

+3×

( 1 4 )2- 1 4 ×( 1 4 )n

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1，

3

4

sn=

1

4

+

1

4

-(

1

4

)n-(3n-2)×(

1

4

)n+1，

3

4

sn=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1，
∴sn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n，（n∈N^*）．

点评：题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．