题目内容

2．已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点，过F作直线与圆x2+y2=a2相切，并与渐近线交于第一象限内一点P，满足|$\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OP}$|，则该双曲线的离心率等于（　　）
A．$\sqrt{5}$B．2C．$\sqrt{3}$D．$\frac{\sqrt{5}}{2}$

分析 设切线的方程为y=k（x+c），k＞0，由直线和圆相切的条件可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=a，解方程可得k，联立渐近线方程和切线方程，求得P的坐标，再由两点的距离公式，化简整理，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设切线的方程为y=k（x+c），k＞0，
由直线和圆相切的条件可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=a，
解得k=$\frac{a}{b}$，
即切线的方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），
代入渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，
可得交点P（$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$），
由|$\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OP}$|，可得：
c=$\frac{ac\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，
即为ac=b2-a2=c2-2a2，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e2-e-2=0，
解得e=2（-1舍去），
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及直线和圆相切的条件：d=r，同时考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．±1B．$±\frac{2}{3}$C．$±\frac{1}{3}$D．$±\frac{1}{2}$

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