Question

17．已知函数f（x）=2^x+1+$\frac{a}{2^x}$，给出如下二个命题：
p₁：?a∈R，使得函数y=f（x）是偶函数；
p₂：若a=-3，则y=f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上有零点．
则下列命题正确的是（　　）

• A． ￢p₁
• B． ￢p₁∨p₂
• C． p₁∧p₂
• D． p₁∧（￢p₂）

Answer 1

分析 利用函数的性质先判定命题p₁，p₂的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

解答 解：对于命题p₁：假设函数f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x），∴2^-x+1+$\frac{a}{{2}^{-x}}$=2^x+1+$\frac{a}{2^x}$，化为：a$（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）$=2$（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）$，解得a=2．因此：?a=2，使得函数y=f（x）是偶函数，因此是真命题．
对于命题p₂：函数f（x）=2^x+1-$\frac{3}{{2}^{x}}$，令f（x）=0，可得：$（{2}^{x}）^{2}=\frac{3}{2}$，可得2^x=$\sqrt{\frac{3}{2}}$，∴x=$lo{g}_{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$＜$lo{g}_{2}\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$．因此a=-3，则y=f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上没有零点，是假命题．
∴p₁∧（￢p₂）是真命题．
故选：D．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．