Question

7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的侧棱长为4cm，在底面△ABC中，AC=BC=2cm，∠ACB=90°，E为AB的中点，CF⊥AB₁垂足为F
（Ⅰ）求证CE⊥AB₁；
（Ⅱ）求CE与AB₁的距离；
（Ⅲ）求截面AB₁C与侧面ABB₁A₁所成二面角C-AB₁-B的正切值；
（Ⅳ）求三棱锥C-AEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证CE⊥AB₁，只要证明CE⊥面ABB₁A₁，然后由已知结合线面垂直的判定证明；
（Ⅱ）先证明EF为CE与AB₁的公垂线，然后通过求解直角三角形求得EF的长；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得截面AB₁C与侧面ABB₁A₁所成二面角C-AB₁-B的平面角为∠CFE，然后在直角三角形CEF中求解；
（Ⅳ）求出底面AEF的面积，然后直接由三棱锥体积公式求解．

解答 （Ⅰ）证明：如图
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴A₁A⊥面ABC，则A₁A⊥CE，
又底面ABC为等腰直角三角形，且AC=BC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
又A₁A∩AB=A，
∴CE⊥面ABB₁A₁，则CE⊥AB₁；
（Ⅱ）解：∵CE⊥面ABB₁A₁，∴CE⊥EF，
∵已知CF⊥AB₁，由（Ⅰ）知CE⊥AB₁，且CE∩CF=C，
∴AB₁⊥面CEF，则EF⊥AB₁，即EF为异面直线CE与AB₁的公垂线，
在直角三角形ACB₁中，∵AC=2，${B}_{1}C=2\sqrt{5}$，$A{B}_{1}=2\sqrt{6}$，
可得$AF=\frac{A{C}^{2}}{A{B}_{1}}=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$EF=\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{2-\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，∠CFE为二面角C-AB₁-B的平面角，
则在Rt△CEF中，tan∠CFE=$\frac{CE}{EF}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（Ⅳ）解：∵${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×EF×AF=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴${V}_{C-AEF}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}×\sqrt{2}=\frac{2}{9}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了空间几何体体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．