Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点P到左右两焦点F₁，F₂的距离之和为2

2

，离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点M(0，

3

7

)满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据离心率为

2

2

，求出c，从而可求b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆的方程，可得AB的中点坐标，确定AB的中垂线方程，利用|MA|=|MB|，即可求直线l的斜率k的值．

解答： 解：（Ⅰ）|PF1|+|PF2|=2a=2

2

，∴a=

2

-----------------------（1分）
∵e=

c

a

=

2

2

，∴c=

2

2

×

2

=1，-----------------------（2分）
∴b²=a²-c²=2-1=1-----------------------（3分）
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1-----------------------（4分）
（Ⅱ）已知F₂（1，0），设直线的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）----------（5分）
联立直线与椭圆的方程

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，化简得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0------------（6分）
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)-2k=

-2k

1+2k2

∴AB的中点坐标为(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)-----------------------（8分）
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y-

-k

1+2k2

=-

1

k

(x-

2k2

1+2k2

)--------------（9分）
∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：

3

7

+

k

1+2k2

=

2k

1+2k2

，
即2

3

k2-7k+

3

=0，解得k=

3

或k=

3

6

-----------------------（11分）
②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意．-----------------------（12分）
∴斜率k的取值为0， 

3

， 

3

6

．-----------------------（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．