Question

已知抛物线C₁的焦点F与椭圆C₂：x²+

4y2

3

=1的右焦点重合，抛物线的顶点在坐标原点．
（Ⅰ）求这条抛物线C₁方程；
（Ⅱ）设圆M过A（1，0），且圆心M在C₁的轨迹上，BD是圆M在y轴的截得的弦，当M过去时弦长BD是否为定值？说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由椭圆C₂：x²+

4y2

3

=1的右焦点求出抛物线C₁的焦点为F（

1

2

，0），抛物线C₁的方程．
（Ⅱ）由已知条件推导出圆的方程为（x-

a2

2

）²+（y-a）²=（1-

a2

2

）²+a²，由此能证明弦长|BD|为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：x²+

4y2

3

=1的右焦点重合，
∴抛物线C₁的焦点为F（

1

2

，0），
∵抛物线C₁的顶点在坐标原点，
∴抛物线C₁的方程为y²=2x．
（Ⅱ）证明：∵圆心M在抛物线y²=2x上，
设圆心M（

a2

2

，a），半径r=

(1- a2 2 )2+a2

，
圆的方程为（x-

a2

2

）²+（y-a）²=（1-

a2

2

）²+a²，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），
∴|BD|=

[(1+a)-(-1+a)]2

=2，
∴弦长|BD|为定值．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查弦长为定值的证明，解题时要注意圆的简单性质的灵活运用．